(* Content-type: application/vnd.wolfram.mathematica *)

(*** Wolfram Notebook File ***)
(* http://www.wolfram.com/nb *)

(* CreatedBy='Mathematica 10.0' *)

(*CacheID: 234*)
(* Internal cache information:
NotebookFileLineBreakTest
NotebookFileLineBreakTest
NotebookDataPosition[       158,          7]
NotebookDataLength[     35253,        922]
NotebookOptionsPosition[     34228,        881]
NotebookOutlinePosition[     34589,        897]
CellTagsIndexPosition[     34546,        894]
WindowFrame->Normal*)

(* Beginning of Notebook Content *)
Notebook[{

Cell[CellGroupData[{
Cell["Riemann Sums", "Title",
 CellChangeTimes->{{3.6297194777217493`*^9, 3.629719518303899*^9}, {
  3.629719934656958*^9, 3.629719941143162*^9}},
 TextAlignment->Center],

Cell["\<\
by Ruth Dover
Illinois Mathematics and Science Academy\
\>", "Subsubtitle",
 CellChangeTimes->{{3.693183751755031*^9, 3.693183763915751*^9}}],

Cell["\<\
First, define a function, choose your window, and the maximum number of \
rectangles (or trapezoids) you wish to see. An example is given, but these \
pieces may all be edited in this first command or within the separate \
commands below.\
\>", "Text",
 CellChangeTimes->{{3.629719742124618*^9, 3.6297198426240253`*^9}, {
  3.629719953398903*^9, 3.629719977564473*^9}}],

Cell[BoxData[{
 RowBox[{
  RowBox[{"f", "[", "x_", "]"}], ":=", 
  RowBox[{
   SuperscriptBox["x", "2"], "+", "1"}]}], "\[IndentingNewLine]", 
 RowBox[{
  RowBox[{"xmin", "=", "0"}], ";", " ", 
  RowBox[{"xmax", "=", "3"}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", 
 RowBox[{
  RowBox[{"maxrect", "=", "20"}], ";"}]}], "Input",
 CellChangeTimes->{{3.62971985323409*^9, 3.6297198914636307`*^9}}],

Cell[CellGroupData[{

Cell["LeftSum", "Section",
 CellChangeTimes->{{3.403269671702868*^9, 3.403269673302601*^9}}],

Cell[BoxData[
 RowBox[{"Manipulate", "[", 
  RowBox[{
   RowBox[{"LeftSum", "[", 
    RowBox[{
     RowBox[{"f", "[", "x", "]"}], ",", " ", 
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{"x", ",", "xmin", ",", " ", "xmax"}], "}"}], ",", " ", "n", ",",
      " ", 
     RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "500"}]}], "]"}], ",", " ", 
   RowBox[{"{", 
    RowBox[{"n", ",", " ", "1", ",", " ", "maxrect", ",", " ", "1"}], "}"}]}],
   "]"}]], "Input",
 CellChangeTimes->{{3.403269388886189*^9, 3.4032694892494783`*^9}, {
   3.403269613005494*^9, 3.403269617144491*^9}, {3.40326965482663*^9, 
   3.403269662728404*^9}, 3.403271977124041*^9, {3.403272045505875*^9, 
   3.4032720526407003`*^9}, 3.403273065305121*^9}]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["RightSum", "Section",
 CellChangeTimes->{{3.4032696816795177`*^9, 3.403269683238147*^9}}],

Cell[BoxData[
 RowBox[{"Manipulate", "[", 
  RowBox[{
   RowBox[{"RightSum", "[", 
    RowBox[{
     RowBox[{"f", "[", "x", "]"}], ",", " ", 
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{"x", ",", "xmin", ",", " ", "xmax"}], "}"}], ",", " ", "n", ",",
      " ", 
     RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "500"}]}], "]"}], ",", " ", 
   RowBox[{"{", 
    RowBox[{"n", ",", " ", "1", ",", " ", "maxrect", ",", " ", "1"}], "}"}]}],
   "]"}]], "Input",
 CellChangeTimes->{{3.403269388886189*^9, 3.4032694892494783`*^9}, {
   3.403269613005494*^9, 3.403269617144491*^9}, {3.40326965482663*^9, 
   3.403269662728404*^9}, {3.4032697431851797`*^9, 3.4032697438164473`*^9}, {
   3.403272209843328*^9, 3.403272219829679*^9}, 3.40327306879126*^9}]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["MidpointSum", "Section",
 CellChangeTimes->{{3.4032697170948*^9, 3.403269723222384*^9}}],

Cell[BoxData[
 RowBox[{"Manipulate", "[", 
  RowBox[{
   RowBox[{"MidSum", "[", 
    RowBox[{
     RowBox[{"f", "[", "x", "]"}], ",", " ", 
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{"x", ",", "xmin", ",", " ", "xmax"}], "}"}], ",", " ", "n", ",",
      " ", 
     RowBox[{"ImageSize", "->", " ", "500"}]}], "]"}], ",", " ", 
   RowBox[{"{", 
    RowBox[{"n", ",", " ", "1", ",", " ", "maxrect", ",", " ", "1"}], "}"}]}],
   "]"}]], "Input",
 CellChangeTimes->{{3.403269388886189*^9, 3.4032694892494783`*^9}, {
  3.403269613005494*^9, 3.403269617144491*^9}, {3.40326965482663*^9, 
  3.403269662728404*^9}, {3.403269733443049*^9, 3.403269737032442*^9}, {
  3.403272268767787*^9, 3.403272269453682*^9}}]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["TrapezoidalSum", "Section",
 CellChangeTimes->{{3.403269750426074*^9, 3.403269760598308*^9}}],

Cell["\<\
No, this isn't really a Riemann sum, but it seems to fit in this notebook.\
\>", "Text",
 CellChangeTimes->{{3.403269764965342*^9, 3.403269777870326*^9}, {
  3.403269877547515*^9, 3.4032698783345337`*^9}}],

Cell[BoxData[
 RowBox[{"Manipulate", "[", 
  RowBox[{
   RowBox[{"TrapSum", "[", 
    RowBox[{
     RowBox[{"f", "[", "x", "]"}], ",", " ", 
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{"x", ",", "xmin", ",", " ", "xmax"}], "}"}], ",", " ", "n", ",",
      " ", 
     RowBox[{"ImageSize", "->", " ", "500"}]}], "]"}], ",", " ", 
   RowBox[{"{", 
    RowBox[{"n", ",", " ", "1", ",", " ", "maxrect", ",", " ", "1"}], "}"}]}],
   "]"}]], "Input",
 CellChangeTimes->{{3.403269388886189*^9, 3.4032694892494783`*^9}, {
  3.403269613005494*^9, 3.403269617144491*^9}, {3.40326965482663*^9, 
  3.403269662728404*^9}, {3.403269786188354*^9, 3.403269786808481*^9}, {
  3.4032730727746677`*^9, 3.403273073250011*^9}}]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["initialization", "Section",
 CellChangeTimes->{{3.6297195647998123`*^9, 3.6297195675107737`*^9}}],

Cell[BoxData[{
 RowBox[{
  RowBox[{
   RowBox[{"LeftSum", "[", 
    RowBox[{"f_", ",", " ", 
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{"x_", ",", " ", "a_", ",", " ", "b_"}], "}"}], ",", " ", "n_", 
     ",", " ", "opts___"}], "]"}], " ", ":=", "\n", "\t", "\n", "  ", 
   RowBox[{"Module", "[", 
    RowBox[{
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{
      "\[CapitalDelta]x", ",", " ", "rects", ",", " ", "i", ",", " ", "area", 
       ",", " ", "k", ",", " ", "w", ",", " ", "z", ",", " ", "u", ",", " ", 
       "v", ",", " ", "p", ",", " ", "q"}], "}"}], ",", " ", "\n", "\t\t", 
     RowBox[{
      RowBox[{"\[CapitalDelta]x", " ", "=", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"(", 
         RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "n"}]}], ";", "\n", 
      "\t\t", 
      RowBox[{"rects", " ", "=", " ", "\n", "      ", 
       RowBox[{"Table", "[", 
        RowBox[{
         RowBox[{"Line", "[", 
          RowBox[{"{", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              "0"}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"Function", "[", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                 RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", 
               RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"(", 
                  RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                 "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", "\n", "                ", 
               RowBox[{"i", "*", " ", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", 
              "              ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"Function", "[", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                 RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", 
               RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"(", 
                  RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                 "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", "\n", "                ", 
               RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "0"}], 
             "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              "0"}], "}"}]}], "}"}], "]"}], ",", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"i", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"area", " ", "=", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"Plus", " ", "@@", " ", "\n", "          ", 
         RowBox[{"Table", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{
            RowBox[{
             RowBox[{"Function", "[", 
              RowBox[{
               RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
               RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "\n", 
             "                ", 
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"(", 
                RowBox[{"k", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
               "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}], "*", "\[CapitalDelta]x"}], ",", 
           " ", 
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{"k", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], 
        " ", "//", " ", "\n", "        ", "N"}]}], ";", "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"z", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Plot", "[", 
        RowBox[{
         RowBox[{
          RowBox[{"Function", "[", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], 
         ",", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"x", ",", " ", "a", ",", " ", "b"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t", "\n", "\t", 
      RowBox[{"p", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Min", "[", 
        RowBox[{"0", ",", " ", 
         RowBox[{
          RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
          RowBox[{"[", 
           RowBox[{"2", ",", " ", "1"}], "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "  ", 
      RowBox[{"q", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Max", "[", 
        RowBox[{"0", ",", " ", 
         RowBox[{
          RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
          RowBox[{"[", 
           RowBox[{"2", ",", " ", "2"}], "]"}], "]"}]}], " ", "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t", "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"Plot", "[", 
       RowBox[{
        RowBox[{
         RowBox[{"Function", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], ",",
         " ", 
        RowBox[{"{", 
         RowBox[{"x", ",", " ", 
          RowBox[{"a", " ", "-", " ", 
           RowBox[{
            RowBox[{"(", 
             RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}], ",", 
          " ", 
          RowBox[{"b", " ", "+", " ", 
           RowBox[{
            RowBox[{"(", 
             RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}]}], "}"}],
         ",", " ", "\n", "      ", 
        RowBox[{"Evaluate", "[", 
         RowBox[{"Sequence", " ", "@@", " ", 
          RowBox[{"FilterRules", "[", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", "opts", "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"Options", "[", "Plot", "]"}]}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", 
        RowBox[{"Epilog", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"Red", ",", " ", "rects"}], "}"}]}], ",", " ", "\n", 
        "      ", 
        RowBox[{"Axes", " ", "->", " ", "True"}], ",", " ", 
        RowBox[{"PlotRange", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"p", ",", " ", "q"}], "}"}]}], ",", " ", 
        RowBox[{"PlotStyle", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"Thickness", "[", ".01", "]"}]}], ",", " ", "\n", "      ", 
        RowBox[{"PlotLabel", " ", "->", "\n", "        ", 
         RowBox[{"Style", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"StringForm", "[", 
            RowBox[{"\"\<Left-hand Approx = ``\>\"", ",", " ", 
             RowBox[{"NumberForm", "[", 
              RowBox[{"area", ",", " ", "4"}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", "\n",
            "          ", 
           RowBox[{"FontSize", " ", "->", " ", "20"}], ",", " ", 
           RowBox[{"FontWeight", " ", "->", " ", "\"\<Bold\>\""}]}], " ", 
          "]"}]}]}], "]"}]}]}], "\n", "\t", "]"}]}], "\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t",
   "\n", "\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t", "\n", "\t\t\t\t\t\t"}], "\n", 
 RowBox[{
  RowBox[{
   RowBox[{"RightSum", "[", 
    RowBox[{"f_", ",", " ", 
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{"x_", ",", " ", "a_", ",", " ", "b_"}], "}"}], ",", " ", "n_", 
     ",", " ", "opts___"}], "]"}], " ", ":=", "\n", "\t", "\n", "  ", 
   RowBox[{"Module", "[", 
    RowBox[{
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{
      "\[CapitalDelta]x", ",", " ", "rects", ",", " ", "i", ",", " ", "area", 
       ",", " ", "k", ",", " ", "w", ",", " ", "z", ",", " ", "u", ",", " ", 
       "v", ",", " ", "p", ",", " ", "q"}], "}"}], ",", " ", "\n", "\t\t", 
     RowBox[{
      RowBox[{"\[CapitalDelta]x", " ", "=", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"(", 
         RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "n"}]}], ";", "\n", 
      "\t\t", 
      RowBox[{"rects", " ", "=", " ", "\n", "      ", 
       RowBox[{"Table", "[", 
        RowBox[{
         RowBox[{"Line", "[", 
          RowBox[{"{", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              "0"}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"Function", "[", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                 RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", 
               RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
                RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",",
             " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", "\n", "                ", 
               RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", 
              "              ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"Function", "[", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                 RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", 
               RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
                RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",",
             " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", "\n", "                ", 
               RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "0"}], 
             "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              "0"}], "}"}]}], "}"}], "]"}], ",", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"i", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"area", " ", "=", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"Plus", " ", "@@", " ", "\n", "          ", 
         RowBox[{"Table", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{
            RowBox[{
             RowBox[{"Function", "[", 
              RowBox[{
               RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
               RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "\n", 
             "                ", 
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
              RowBox[{"k", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}], "*", 
            "\[CapitalDelta]x"}], ",", " ", 
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{"k", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], 
        " ", "//", " ", "N"}]}], ";", "\n", "\t", "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"z", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Plot", "[", 
        RowBox[{
         RowBox[{
          RowBox[{"Function", "[", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], 
         ",", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"x", ",", " ", "a", ",", " ", "b"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t", "\n", "\t", 
      RowBox[{"p", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Min", "[", 
        RowBox[{"0", ",", " ", 
         RowBox[{
          RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
          RowBox[{"[", 
           RowBox[{"2", ",", " ", "1"}], "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "  ", 
      RowBox[{"q", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Max", "[", 
        RowBox[{"0", ",", " ", 
         RowBox[{
          RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
          RowBox[{"[", 
           RowBox[{"2", ",", " ", "2"}], "]"}], "]"}]}], " ", "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t\t", "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"Plot", "[", 
       RowBox[{
        RowBox[{
         RowBox[{"Function", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], ",",
         " ", 
        RowBox[{"{", 
         RowBox[{"x", ",", " ", 
          RowBox[{"a", " ", "-", " ", 
           RowBox[{
            RowBox[{"(", 
             RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}], ",", 
          " ", 
          RowBox[{"b", " ", "+", " ", 
           RowBox[{
            RowBox[{"(", 
             RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}]}], "}"}],
         ",", " ", "\n", "      ", 
        RowBox[{"Evaluate", "[", 
         RowBox[{"Sequence", " ", "@@", " ", 
          RowBox[{"FilterRules", "[", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", "opts", "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"Options", "[", "Plot", "]"}]}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", 
        RowBox[{"Epilog", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"Red", ",", " ", "rects"}], "}"}]}], ",", " ", "\n", 
        "      ", 
        RowBox[{"Axes", " ", "->", " ", "True"}], ",", " ", 
        RowBox[{"PlotRange", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"p", ",", " ", "q"}], "}"}]}], ",", " ", 
        RowBox[{"PlotStyle", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"Thickness", "[", ".01", "]"}]}], ",", " ", "\n", "      ", 
        RowBox[{"PlotLabel", " ", "->", "\n", "        ", 
         RowBox[{"Style", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"StringForm", "[", 
            RowBox[{"\"\<Right-hand Approx = ``\>\"", ",", " ", 
             RowBox[{"NumberForm", "[", 
              RowBox[{"area", ",", " ", "4"}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", "\n",
            "          ", 
           RowBox[{"FontSize", " ", "->", " ", "20"}], ",", " ", 
           RowBox[{"FontWeight", " ", "->", " ", "\"\<Bold\>\""}]}], " ", 
          "]"}]}]}], "]"}]}]}], "\n", "\t", "]"}]}], "\n", "\t"}], "\n", 
 RowBox[{
  RowBox[{
   RowBox[{"MidSum", "[", 
    RowBox[{"f_", ",", " ", 
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{"x_", ",", " ", "a_", ",", " ", "b_"}], "}"}], ",", " ", "n_", 
     ",", " ", "opts___"}], "]"}], " ", ":=", "\n", "\t", "\n", "  ", 
   RowBox[{"Module", "[", 
    RowBox[{
     RowBox[{"{", 
      RowBox[{
      "\[CapitalDelta]x", ",", " ", "rects", ",", " ", "i", ",", " ", "area", 
       ",", " ", "k", ",", " ", "w", ",", " ", "z", ",", " ", "u", ",", " ", 
       "v", ",", " ", "p", ",", " ", "q"}], "}"}], ",", " ", "\n", "\t\t", 
     RowBox[{
      RowBox[{"\[CapitalDelta]x", " ", "=", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"(", 
         RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "n"}]}], ";", "\n", 
      "\t\t", 
      RowBox[{"rects", " ", "=", " ", "\n", "      ", 
       RowBox[{"Table", "[", 
        RowBox[{
         RowBox[{"Line", "[", 
          RowBox[{"{", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              "0"}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"Function", "[", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                 RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "\n", 
               "                ", 
               RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"(", 
                  RowBox[{"i", " ", "-", " ", 
                   RowBox[{"1", "/", "2"}]}], ")"}], "*", 
                 "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", 
              "              ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"Function", "[", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                 RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "\n", 
               "                ", 
               RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
                RowBox[{
                 RowBox[{"(", 
                  RowBox[{"i", " ", "-", " ", 
                   RowBox[{"1", "/", "2"}]}], ")"}], "*", 
                 "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", 
              "              ", "0"}], "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"{", 
             RowBox[{
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "0"}], "}"}]}], "}"}], 
          "]"}], ",", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"i", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"area", " ", "=", " ", 
       RowBox[{
        RowBox[{"Plus", " ", "@@", " ", "\n", "          ", 
         RowBox[{"Table", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{
            RowBox[{
             RowBox[{"Function", "[", 
              RowBox[{
               RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
               RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "\n", 
             "                ", 
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"(", 
                RowBox[{"k", " ", "-", " ", 
                 RowBox[{"1", "/", "2"}]}], ")"}], "*", 
               "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}], "*", "\[CapitalDelta]x"}], ",", 
           " ", 
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{"k", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], 
        " ", "//", "\n", "         ", "N"}]}], ";", "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"z", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Plot", "[", 
        RowBox[{
         RowBox[{
          RowBox[{"Function", "[", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], 
         ",", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"x", ",", " ", "a", ",", " ", "b"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"p", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Min", "[", 
        RowBox[{"0", ",", " ", 
         RowBox[{
          RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
          RowBox[{"[", 
           RowBox[{"2", ",", " ", "1"}], "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "  ", 
      RowBox[{"q", " ", "=", " ", 
       RowBox[{"Max", "[", 
        RowBox[{"0", ",", " ", 
         RowBox[{
          RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
          RowBox[{"[", 
           RowBox[{"2", ",", " ", "2"}], "]"}], "]"}]}], " ", "]"}]}], ";", 
      "\n", "\t\t\t", "\n", "\t\t", 
      RowBox[{"Plot", "[", 
       RowBox[{
        RowBox[{
         RowBox[{"Function", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], ",",
         " ", 
        RowBox[{"{", 
         RowBox[{"x", ",", " ", 
          RowBox[{"a", " ", "-", " ", 
           RowBox[{
            RowBox[{"(", 
             RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}], ",", 
          " ", 
          RowBox[{"b", " ", "+", " ", 
           RowBox[{
            RowBox[{"(", 
             RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}]}], "}"}],
         ",", " ", "\n", "      ", 
        RowBox[{"Evaluate", "[", 
         RowBox[{"Sequence", " ", "@@", " ", 
          RowBox[{"FilterRules", "[", 
           RowBox[{
            RowBox[{"{", "opts", "}"}], ",", " ", 
            RowBox[{"Options", "[", "Plot", "]"}]}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", 
        RowBox[{"Epilog", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"Red", ",", " ", "rects"}], "}"}]}], ",", " ", "\n", 
        "      ", 
        RowBox[{"Axes", " ", "->", " ", "True"}], ",", " ", 
        RowBox[{"PlotRange", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{"p", ",", " ", "q"}], "}"}]}], ",", " ", 
        RowBox[{"PlotStyle", " ", "->", " ", 
         RowBox[{"Thickness", "[", ".01", "]"}]}], ",", " ", "\n", "      ", 
        RowBox[{"PlotLabel", " ", "->", "\n", "        ", 
         RowBox[{"Style", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"StringForm", "[", 
            RowBox[{"\"\<Midpoint Approx = ``\>\"", ",", " ", 
             RowBox[{"NumberForm", "[", 
              RowBox[{"area", ",", " ", "4"}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", "\n",
            "          ", 
           RowBox[{"FontSize", " ", "->", " ", "20"}], ",", " ", 
           RowBox[{"FontWeight", " ", "->", " ", "\"\<Bold\>\""}]}], " ", 
          "]"}]}]}], "]"}]}]}], "\n", "\t", "]"}]}], "\n", "\t"}], "\n", 
 RowBox[{
  RowBox[{"TrapSum", "[", 
   RowBox[{"f_", ",", " ", 
    RowBox[{"{", 
     RowBox[{"x_", ",", " ", "a_", ",", " ", "b_"}], "}"}], ",", " ", "n_", 
    ",", " ", "opts___"}], "]"}], " ", ":=", "\n", "\t", "\n", "  ", 
  RowBox[{"Module", "[", 
   RowBox[{
    RowBox[{"{", 
     RowBox[{
     "\[CapitalDelta]x", ",", " ", "traps", ",", " ", "i", ",", " ", "area", 
      ",", " ", "k", ",", " ", "w", ",", " ", "z", ",", " ", "u", ",", " ", 
      "v", ",", " ", "p", ",", " ", "q"}], "}"}], ",", " ", "\n", "\t\t", 
    RowBox[{
     RowBox[{"\[CapitalDelta]x", " ", "=", " ", 
      RowBox[{
       RowBox[{"(", 
        RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "n"}]}], ";", "\n", 
     "\t\t", 
     RowBox[{"traps", " ", "=", " ", "\n", "      ", 
      RowBox[{"Table", "[", 
       RowBox[{
        RowBox[{"Line", "[", 
         RowBox[{"{", 
          RowBox[{
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"(", 
                RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
               "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
             "0"}], "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"(", 
                RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
               "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
             RowBox[{
              RowBox[{"Function", "[", 
               RowBox[{
                RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", 
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], "*", 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", "\n", "                ", 
              RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", 
             "              ", 
             RowBox[{
              RowBox[{"Function", "[", 
               RowBox[{
                RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", 
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", 
           " ", 
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", "\n", "                ", 
              RowBox[{"i", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "0"}], 
            "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"{", 
            RowBox[{
             RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
              RowBox[{
               RowBox[{"(", 
                RowBox[{"i", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
               "\[CapitalDelta]x"}]}], ",", " ", "\n", "              ", 
             "0"}], "}"}]}], "}"}], "]"}], ",", " ", 
        RowBox[{"{", 
         RowBox[{"i", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
     "\n", "\t\t", 
     RowBox[{"area", " ", "=", " ", 
      RowBox[{
       RowBox[{"Plus", " ", "@@", " ", "\n", "          ", 
        RowBox[{"Table", "[", 
         RowBox[{
          RowBox[{
           RowBox[{"(", 
            RowBox[{
             RowBox[{
              RowBox[{"Function", "[", 
               RowBox[{
                RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", 
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{
                RowBox[{"(", 
                 RowBox[{"k", " ", "-", " ", "1"}], ")"}], 
                "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}], " ", "+", " ", "\n", 
             "                  ", 
             RowBox[{
              RowBox[{"Function", "[", 
               RowBox[{
                RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
                RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "\n", 
              "                    ", 
              RowBox[{"a", " ", "+", " ", 
               RowBox[{"k", "*", "\[CapitalDelta]x"}]}], "]"}]}], ")"}], "*", 
           
           RowBox[{"\[CapitalDelta]x", "/", "2"}]}], ",", " ", 
          RowBox[{"{", 
           RowBox[{"k", ",", " ", "1", ",", " ", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], " ",
        "//", "\n", "         ", "N"}]}], ";", "\n", "\t\t", 
     RowBox[{"z", " ", "=", " ", 
      RowBox[{"Plot", "[", 
       RowBox[{
        RowBox[{
         RowBox[{"Function", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], ",",
         " ", 
        RowBox[{"{", 
         RowBox[{"x", ",", " ", "a", ",", " ", "b"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", 
     "\n", "\t\t", 
     RowBox[{"p", " ", "=", " ", 
      RowBox[{"Min", "[", 
       RowBox[{"0", ",", " ", 
        RowBox[{
         RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
         RowBox[{"[", 
          RowBox[{"2", ",", " ", "1"}], "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "  ", 
     RowBox[{"q", " ", "=", " ", 
      RowBox[{"Max", "[", 
       RowBox[{"0", ",", " ", 
        RowBox[{
         RowBox[{"PlotRange", "[", "z", "]"}], "[", 
         RowBox[{"[", 
          RowBox[{"2", ",", " ", "2"}], "]"}], "]"}]}], " ", "]"}]}], ";", 
     "\n", "\t", 
     RowBox[{"Plot", "[", 
      RowBox[{
       RowBox[{
        RowBox[{"Function", "[", 
         RowBox[{
          RowBox[{"{", "x", "}"}], ",", " ", 
          RowBox[{"Evaluate", "[", "f", "]"}]}], "]"}], "[", "x", "]"}], ",", 
       " ", 
       RowBox[{"{", 
        RowBox[{"x", ",", " ", 
         RowBox[{"a", " ", "-", " ", 
          RowBox[{
           RowBox[{"(", 
            RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}], ",", " ", 
         RowBox[{"b", " ", "+", " ", 
          RowBox[{
           RowBox[{"(", 
            RowBox[{"b", " ", "-", " ", "a"}], ")"}], "/", "10"}]}]}], "}"}], 
       ",", " ", "\n", "      ", 
       RowBox[{"Evaluate", "[", 
        RowBox[{"Sequence", " ", "@@", " ", 
         RowBox[{"FilterRules", "[", 
          RowBox[{
           RowBox[{"{", "opts", "}"}], ",", " ", 
           RowBox[{"Options", "[", "Plot", "]"}]}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", 
       
       RowBox[{"Epilog", " ", "->", " ", 
        RowBox[{"{", 
         RowBox[{"Red", ",", " ", "traps"}], "}"}]}], ",", " ", "\n", 
       "      ", 
       RowBox[{"Axes", " ", "->", " ", "True"}], ",", " ", 
       RowBox[{"PlotRange", " ", "->", " ", 
        RowBox[{"{", 
         RowBox[{"p", ",", " ", "q"}], "}"}]}], ",", " ", 
       RowBox[{"PlotStyle", " ", "->", " ", 
        RowBox[{"Thickness", "[", ".01", "]"}]}], ",", " ", "\n", "      ", 
       RowBox[{"PlotLabel", " ", "->", "\n", "        ", 
        RowBox[{"Style", "[", 
         RowBox[{
          RowBox[{"StringForm", "[", 
           RowBox[{"\"\<Trap Approx = ``\>\"", ",", " ", 
            RowBox[{"NumberForm", "[", 
             RowBox[{"area", ",", " ", "4"}], "]"}]}], "]"}], ",", " ", "\n", 
          "          ", 
          RowBox[{"FontSize", " ", "->", " ", "20"}], ",", " ", 
          RowBox[{"FontWeight", " ", "->", " ", "\"\<Bold\>\""}]}], " ", 
         "]"}]}]}], "]"}]}]}], "\n", "\t", "]"}]}]}], "Input",
 InitializationCell->True]
}, Closed]]
}, Open  ]]
},
WindowSize->{808, 724},
WindowMargins->{{Automatic, 737}, {Automatic, 120}},
FrontEndVersion->"11.0 for Mac OS X x86 (32-bit, 64-bit Kernel) (September \
21, 2016)",
StyleDefinitions->"Default.nb"
]
(* End of Notebook Content *)

(* Internal cache information *)
(*CellTagsOutline
CellTagsIndex->{}
*)
(*CellTagsIndex
CellTagsIndex->{}
*)
(*NotebookFileOutline
Notebook[{
Cell[CellGroupData[{
Cell[580, 22, 170, 3, 92, "Title"],
Cell[753, 27, 151, 4, 49, "Subsubtitle"],
Cell[907, 33, 379, 7, 68, "Text"],
Cell[1289, 42, 383, 10, 75, "Input"],
Cell[CellGroupData[{
Cell[1697, 56, 92, 1, 64, "Section"],
Cell[1792, 59, 695, 16, 32, "Input"]
}, Open  ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[2524, 80, 95, 1, 64, "Section"],
Cell[2622, 83, 721, 16, 32, "Input"]
}, Open  ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[3380, 104, 94, 1, 64, "Section"],
Cell[3477, 107, 691, 16, 32, "Input"]
}, Open  ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[4205, 128, 99, 1, 64, "Section"],
Cell[4307, 131, 215, 4, 30, "Text"],
Cell[4525, 137, 694, 16, 32, "Input"]
}, Open  ]],
Cell[CellGroupData[{
Cell[5256, 158, 103, 1, 64, "Section"],
Cell[5362, 161, 28838, 716, 2338, "Input",
 InitializationCell->True]
}, Closed]]
}, Open  ]]
}
]
*)